《向量代数与空间解析几何》知识点、公式总结与典型题解析

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一、两向量的数量积及其应用

1．数量积的定义

向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃)的数量积为

其中θ为向量a与b之夹角，规定0≤θ≤π.

2．两向量的夹角

两非零向量a与b的夹角余弦计算公式为

3．数量积的几何应用

(1)向量垂直关系的判定：

(2)向量的投影：

【注】：零向量与任何向量垂直.

4．向量积的物理应用

常力F拉物体沿位移S所做的功W为

W=F∙S.

二、两向量的向量积及其应用

1．向量积的定义

两向量a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃)的向量积定义

【注】:两向量的数量积为一个数量，而两向量的向量积为一个向量．

关于向量a，b的向量积，有：

(1) aⅹb与a，b分别垂直；

(2)a，b与aⅹb服从右手法则；

(3)|aⅹb|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a，b间的夹角．

2．向量积的几何应用

3．向量积的物理应用

设O为一根杠杆L的支点，有一个力F作用于这杠杆上点P处，则力F对支点O的力矩M为

三、向量的混合积及其应用

1．向量的混合积的定义

设有三个向量

a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃), c=(c₁,c₂,c₃),

则称向量(aⅹb)∙c为向量a,b,c的混合积，记作[abc]，并有

根据行列式的运算性质，可得向量的混合积满足轮换性，即

(aⅹb)∙c=( bⅹc)∙a =( cⅹa)∙b.

2．混合积的几何应用

(1) a,b,c共面⇔[abc]=0存在不全零的数λ,μ,γ，使得λa +μb +γc=0.

(2) 空间四点A,B,C,D共面

(3) 以a,b,c为棱的四面体体积为：

(4) 以a,b,c为棱的平行六面体体积为：

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四、空间平面及其方程

1．平面的点法式方程

设M(x₀,y₀,z₀)为平面上的已知点，n=(A,B,C)为法向量，M(x,y,z)为平面上的任一点，则平面的点法式方程为：

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0.

2．平面的三点式方程

设M₁ (x₁,y₁,z₁)，M₂ (x₂,y₂,z₂)，M₃ (x₃,y₃,z₃)是某平面上不共线的三点，则由四点共面，四点构成的三个向量的混合积为零，可得平面的三点式方程：

3．平面的截距式方程

如果三点取为坐标轴上的点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc≠0，或者已知平面在三坐标轴上的截距为a,b,c，则平面的截距式方程为

4．平面的一般式方程

三元一次方程描述的图形为空间平面，即平面的一般式方程为：

Ax+By+Cz+D=0(A²+B²+C²≠0).

并且平面的法向量为n=(A,B,C)，任何满足方程的x,y,z的值构成在有序对(x,y,z)对应的点都为该方程描述的平面上的点。

5．一些特殊平面对应的方程结构

(1) 过原点的平面：Ax+By+Cz=0；

(2) 平行于x轴的平面：By+Cz+D=0；

平行于y轴的平面：Ax+Cz+D=0；

    平行于z轴的平面：Ax+By+D=0；

【注】：法向量的哪个分量为零，则该平面平行于该分量对应的坐标轴。

(3) 过x轴的平面：By+Cz=0；

过y轴的平面：Ax+Cz=0；

过z轴的平面：Ax+By=0；

(4) 行于xOy坐标面的平面：Cz+D=0；

平行于zOx坐标面的平面：By+D=0；

平行于yOz坐标面的平面：Ax+D=0；

【注】：法向量的哪两个分量为零，则该平面平行于这两个分量对应的坐标轴构成的坐标面。

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五、空间直线及其方程

1．直线的向量式参数方程

设直线L过点M₀(x₀,y₀,z₀)，方向向量为s=(m,n,p)，其中m,n,p是不全为零的常数．在直线L上任取一点M(x,y,z)，并记

则直线L参数为t的向量式参数方程为

r=r₀+ts(-∞<t<+∞)

2．空间直线的坐标式参数方程

过点M₀(x₀,y₀,z₀)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的坐标式参数方程为

3．空间直线的标准式方程

过点M₀(x₀,y₀,z₀)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的标准式方程，或者对称式方程，点向式方程为

4．空间直线的两点式方程

已知空间直线L上的相异的两点A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，则两点的连线构成的直线的两点式方程为

5．空间直线的一般式方程

两平面的交线的一般式方程为

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六、点、直线、平面间的位置关系

1．点到平面的距离

如果点P₀不在平面π上，则点P₀到平面π的距离为

2．平面与平面的位置关系

设两平面的方程为

π₁：A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0，

π₂：A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

(1) 两平面平行，有

(2) 两平面重合，有

(3) 两平面垂直，有

(4) 两平面夹角θ定义为两法向量相交的锐角，即

3．两直线的位置关系

设两直线的标准式方程分别为：

并设M₁(x₁,y₁,z₁)是直线L₁上的点，s₁=(m₁,n₁,p₁)是它的一个方向向量；M₂(x₂,y₂,z₂)是直线L₂上的点，s₂=(m₂,n₂,p₂)是它的一个方向向量，则有：

【注】：两条平行直线可以位于不同的平面上，但由于它们可以位于一个平面上，所以它们也表示共面直线。

(5) 不管是共面的直线还是异面的直线，规定两直线的夹角θ为两直线的方向向量间的夹角，即有

【注】：若两直线平行或重合，则它们的夹角可看成是0或π；如果两直线垂直，则它们的夹角为π/2.

4．点到直线的距离

设点M₁(x₁,y₁,z₁)是直线

上的一点，s=(m,n,p)是直线的方向向量，则点M₀(x₀,y₀,z₀)到直线L的距离为由方向向量s与M₁和M₀构成的向量为邻边构成的平行四边形，在方向向量所在边上的高，即由平行四边形的面积公式可得

5．直线间的距离

平行直线之间的距离归结为一直线上的任一点到另一直线之间的距离，即平行直线之间的距离可以直接使用点到直线的距离公式计算得到。

如果两条直线为异面直线，即已知两直线的标准式方程分别为：

并设M₁(x₁,y₁,z₁)是直线L₁上的点，s₁=(m₁,n₁,p₁)是它的一个方向向量；M₂(x₂,y₂,z₂)是直线L₂上的点，s₂=(m₂,n₂,p₂)是它的一个方向向量，则两异面直线之间距离等于向量M₁, M₂构成的向量在向量s₁ⅹs₂上的投影的绝对值，即

6．平面与直线的位置关系

设平面和直线的方程分别为：

并设n=(A,B,C)是平面π的法向量，s=(m,n,p)是直线L的方向向量，M₀(x₀,y₀,z₀)是直线L上的一点，则有：

直线L在平面π上⇔n⊥s且

Ax₀+By₀+Cz₀+D=0.

(3) 直线L与平面π相交⇔Am+Bn+Cp≠0.

(4) 规定直线L与它在平面π上的投影线的夹角θ为直线与平面的夹角，即

7．平面束方程

空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，直线叫做平面束的轴。

如果两个平面

交于一条直线L，那么以直线L为轴的平面束的所有平面方程可以表示为

其中λ,μ是不全为零的任意实数。

当λ=1,μ=0时，则表示平面π₁的方程；λ=0,μ=1时，则表示平面π₂的方程。

【注】：如果仅仅取μ=1，则平面束方程为

λ是不全为零的任意实数，则该方程能够表示的平面为除了平面π₁的平面束中的所有平面；在利用平面束方程解决问题的过程中，减少了一个参数，简化问题求解过程，但是需要单独考虑平面π₁。

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七、构建图形数学描述形式的一般步骤

(1) 针对实际问题，绘制草图，构建合适的空间直角坐标系。

【注1】当然根据问题的描述的方便，也可以是其他坐标系，比如在三重积分中我们要讨论的柱坐标系、球坐标系等。

【注2】如果问题本身带有坐标信息，则绘制坐标系，并根据坐标特征绘制草图。

(2) 在图形上，或者空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其坐标为M(x,y,z)。

(3) 依据问题提供的条件，比如物理意义、几何意义、已有等式等，构建相关的等式，并转化为点M的坐标变量x,y,z的等式；或者通过适当引入参数，将点M的坐标变量x,y,z描述为有关参数的表达式，如果是平面图形或曲线图形，则一个参数；如果是曲面图形，一般为两个参数。

(4) 化简相关等式，得到图形的方程描述形式。

八、旋转曲面

空间中，一条曲线绕一定直线旋转一周所得的曲面称为旋转曲面，定直线称为旋转曲面的旋转轴，曲线称为旋转曲面的母线．

比如，yOz坐标面上的曲线C:f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为

绕y轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为

    空间曲线

绕z轴旋转一周所得旋转曲面的参数方程为

【注1】如果三个方程能够消去两个参数得到x,y,z的表达式，则也就可以直接得到旋转曲面的一般方程。

九、柱面

在空间中，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所构成的曲面叫做柱面；直观地讲，柱面就是由平行于一定直线沿曲线移动时所形成的曲面，或者说是由一条直线连续平移而形成的。其中曲线叫做柱面的准线，直线叫做柱面的母线．

圆柱面：准线为圆，母线为垂直于圆所在平面的直线所形成的曲面。

比如准线为xOy面上的圆x²+y²=R²，母线垂直于xOy面，或平行于z轴的圆柱面方程为

x²+y²=R²。

类似有中心轴为y,x轴为中心轴的圆柱面方程

z²+x²=R²，y²+z²=R²。

椭圆柱面：准线为椭圆，母线为垂直于椭圆所在平面的直线所形成的曲面。比如准线取为xOy,yOz,zOx面上的椭圆，母线分别垂直三个坐标面的椭圆柱面方程分别为

双曲柱面：准线为双曲线，母线为垂直于双曲线所在平面的直线所形成的曲面。比如准线取为xOy,yOz,zOx面上的、实轴分别为x轴、y轴、z轴的双曲线，母线分别垂直三个坐标面的双曲柱面方程分别为

抛物柱面：准线为抛物线，母线为垂直于抛物线所在平面的直线所形成的曲面。比如，比如准线取为xOy面上的抛物线，母线为垂直xOy面的抛物柱面方程为

y²=2px或x²=2py。

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十、常见标准曲面及其参数方程

1．球面

方程(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²所表示的曲面为球心在(x₀,y₀,z₀)球面，半径为R的球面。借助三角恒等式，cos²t+sin²t=1，可将椭球面的方程(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²转为参数方程描述，即

    特别有x²+y²+z²=1表示球心在原点，半径为1的球面。

2．椭球面

方程x²/a²+ y²/b²⁺ z²/c²=1所表示的曲面称为椭球面，其中a,b和c均为正常数。借助三角恒等式，cos²t+sin²t=1，可将椭球面的方程x²/a²+ y²/b²⁺ z²/c²=1转为参数方程描述，即

3．双曲面

双曲面分为单叶双曲面和双叶双曲面。

l单叶双曲面：平方项两正一负的和等于1的方程描述的曲面。即

其负向变量所对应的坐标轴为对称轴．

l双叶双曲面：平方项一正两负的和等于1的方程描述的曲面。即

其正向变量所对应的坐标轴为对称轴．

借助三角恒等式cos²t+sin²t=1及sec²t-tan²t=1，可将对称轴为z的单叶双曲面方程，双叶双曲面方程转换为参数方程描述，有

4．抛物面

抛物面包括椭圆抛物面和双曲抛物面。

l椭圆抛物面：具有1次方项等于两个平方项的和结构的方程所表示的曲面。即

如果a=b，则为旋转抛物面。

借助三角恒等式cos²t+sin²t=1，可将方程转换为参数方程描述，如

l双曲抛物面：1次方项等于两个平方项的差结构的方程所表示的曲面。如

由于双曲抛物面的形状像马鞍，所以它又称为马鞍面．

借助三角恒等式sec²t-tan²t=1，可将方程转换为参数方程描述。如对

5．二次锥面

在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面。直线称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。

如方程

描述的曲面图形为顶点在原点的椭圆锥面，其中心轴在分别为z轴，x轴，y轴．当a=b时为圆锥面。

由三角恒等式cos²t+sin²t=1，可得椭圆锥面的参数方程，如中心轴为z轴的椭圆锥面的参数方程为

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十一、空间曲线的方程

1．空间曲线的一般方程

空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则两个曲面的交线Γ可以用方程组描述为

该方程组也称为空间曲线C的一般方程．

【注1】空间曲线的一般方程不唯一。可以用任意两个过空间曲线的曲面的方程构成的方程组来描述；并且空间曲线也位于描述空间曲线的一般方程中两个方程的线性组合构成的方程

λF(x,y,z)+μG(x,y,z)=0

（其中λ,μ为不全为零的实数）描述的曲面图形上。这样就可以用相对简单的曲面方程来描述曲线。

2．空间曲线的参数方程

一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线。曲线C上动点M的坐标x,y,z可以用一个参数t的函数表示为

【注1】空间曲线参数方程参数的意义可以为运动时间，也可以是转动角度、弧度，或者为坐标变量等。

3．空间曲线一般方程与参数方程的相互转换的思路

将空间曲线的参数方程转换为一般方程描述比较简单，由三个参数表达式两两消去参数，则可以得到两个不包含参数的等式，它们一起构成空间曲线的一般方程。

将空间曲线的一般方程转换为参数方程描述的基本思路为：

(1) 如果空间曲线的一般方程的两个方程都是三个变量的方程，则通过消元，获得一个二元方程表达式，然后借助于二元方程的参数方程，写出两个变量的参数表达式，并代入其中一个方程解出另一变量关于参数的表达式。

(2) 如果空间曲线的一般方程中，有一个方程只有两个变量，则可以直接通过引入参数，写出两个变量的参数方程，然后利用另外一个方程解出另一变量的参数表达式。也可以利用两个变量的表达式用一个变量表示另外一个变量代入另一方程，由变换后的方程写出参数方程后得到参数方程。

(3) 如果空间曲线的一般方程中有一个方程为单独变量等于常数的表达式时，则直接将它代入另一个方程，由另一个方程写出对应的参数方程表达式，并联合这个表达式即可得所求空间曲线的参数方程。

(4) 如果有两个方程都是单独变量等于常数的表达式，则直接令另一变量为参数即可。

十二、空间曲线在平面上的投影

1．曲线在平面上的投影

设是一条空间曲线，是一个平面，曲线上每一点在平面上有一个垂足，曲线上的所有点在平面上的垂足所构成的曲线叫做曲线在平面上的投影曲线，简称投影，平面也称为投影面。

过曲线上的每一点，都有平面的一条垂线，这些垂线构成一个柱面，并且把这样的柱面称为曲线关于平面的投影柱面。

空间曲线在平面上的投影曲线就是投影柱面与平面的交线。

2．一般方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程

设空间曲线Γ的一般方程为

则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程可以通过方程组分别消去z,x,y变量得到。假设方程组消去变量z,x,y后得到的方程分别描述为

F(x,y)=0,G(y,z)=0,H(z,x)=0，

则以上三个方程分别描述了空间曲线关于坐标面xOy、yOz、zOx的投影柱面；并且空间曲线在三个坐标面上的投影曲线分别为

4．参数方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程

设空间曲线Γ的参数方程为

Γ:x=x(t),y=y(t),z=z(t)(t∈[t₀,t₁])，

则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程与投影曲线方程为

xOy投影柱面：x=x(t),y=y(t)，投影曲线：C:x=x(t),y=y(t),z=0(t∈[t₀,t₁])

yOz投影柱面：y=y(t),z=z(t)，投影曲线：C:x=0, y=y(t),z=z(t) (t∈[t₀,t₁])

zOx投影柱面：z=z(t), x=x(t)，投影曲线：C: x=x(t),y=0,z=z(t),(t∈[t₀,t₁])

【注1】空间曲面或立体图形在坐标面上的投影为空间曲面或围成立体的所有曲面上的点在坐标面上的投影点构成的平面区域，可以用投影区域的边界曲线为准线，垂直于坐标面的直线为母线形成的投影柱面与坐标面方程来描述。

【注2】空间直角坐标系中立体图形简图的绘制方法：在掌握基本立体几何形状，比如长方体、球体、柱体、平面、直线绘制的基础上，一般通过绘制一些关键性的曲线，比如围成立体图形的曲面的交线，平行于坐标面的平面截取空间图形所得的交线等，来描述图形的大致轮廓，帮助我们更好地理解和解决问题。

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